Question

某醫藥研究所開發一種新藥，據監測，如果成人按規定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量y（μg）與服藥后的時間t（h）之間近似滿足如圖所示的曲線．其中OA是線段，曲線段AB是函數y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常數）的圖象．
（1）寫出服藥后每毫升血液中含藥量y關于時間t的函數關系式；
（2）據測定：每毫升血液中含藥量不少于2（μg）時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上6：00，為保持療效，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？
（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后在過3h，該病人每毫升血液中含藥量為多少μg？（精確到0.1μg）

Answer 1

分析：（1）由圖象知，0≤t＜1時函數的解析式是一個線段，再結合函數y=k•a^t（t≥1，a＞0，k，a是常數）即可得到函數的解析式；
（2）根據（1）中所求出的解析式建立不等式y≥2，解此不等式計算出第二次吃藥的時間即可；
（3）根據所求出的函數解析式分別計算出兩次吃藥的剩余量，兩者的和即為病人血液中的含藥量．

解答：解：（1）當0≤t＜1時，y=8t；
當t≥1時，把A（1，8）、B（7，1）代入y=kat，得

ka=8 ka7=1

，解得

a= 2 2 k=8 2

，
故y=

8t，(0≤t＜1) 8 2 ( 2 2 )t，(t≥1)

（2）設第一次服藥后最遲過t小時服第二次藥，則

t≥1 8 2 ( 2 2 )t =2

，解得t=5，即第一次服藥后5h后服第二次藥，也即上午11：00服藥；
（3）第二次服藥3h后，每毫升血液中含第一次服藥后的剩余量為：y1=8

2

(

2

2

)8=

2

2

μg
含第二次服藥量為：y2=8

2

(

2

2

)3=4μg
所以此時兩次服藥剩余的量為

2

2

+4≈4.7μg
故該病人每毫升血液中的含藥量為4.7μg

點評：本題考查指數函數在實際中的應用，解答的關鍵是將實際問題對應的函數模型建立起來，進而通過代數計算得出實際問題的解決方案