Question

已知函數f(x)=

|x+7|+|x-1|-m

的定義域為R．
（1）求m的取值范圍；
（2）當m取最大值時，解關于x的不等式|x-3|-2x≤2m-12．

Answer 1

分析：（1）由題意，|x+7|+|x-1|≥m恒成立，設g（x）=|x+7|+|x-1|，則g(x)=

-2x-6，x≤-7 8，-7＜x＜1 2x+6，x≥1

，求得g（x）≥8，由此可得m的范圍．
（2）由（1）知m的最大值為8，故原不等式即為|x-3|≤2x+4，解得x的范圍，可得原不等式的解集．

解答：解：（1）由題意，|x+7|+|x-1|≥m恒成立，
設g（x）=|x+7|+|x-1|，則g(x)=

-2x-6，x≤-7 8，-7＜x＜1 2x+6，x≥1

，∴g（x）≥8，
由題意得：m≤8，即m的范圍為（-∞，8]．…（5分）
（2）由（1）知m的最大值為8，故原不等式即為|x-3|≤2x+4，即-2x-4≤x-3≤2x+4，解得x≥-

1

3

，
所以原不等式的解集為{x|x≥-

1

3

}．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．