Question

在研究并行計算的基本算法時，有以下簡單模型問題：
用計算機求n個不同的數v₁，v₂，…，v_n的和

n

i=1

vi=v1+v2+v3+…+vn．計算開始前，n個數存貯在n臺由網絡連接的計算機中，每臺機器存一個數，計算開始后，在一個單位時間內，每臺機器至多到一臺其他機器中讀數據，并與自己原有數據相加得到新的數據，各臺機器可同時完成上述工作．為了用盡可能少的單位時間，使各臺機器都得到這n個數的和，需要設計一種讀和加的方法．比如n=2時，一個單位時間即可完成計算，方法可用下表表示：

機器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀機號	結  果	被讀機號	結  果	被讀機號	結  果
1	v1	2	v1+v2
2	v2	1	v2+v1

（Ⅰ）當n=4時，至少需要多少個單位時間可完成計算？把你設計的方法填入下表

機器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀機號	結  果	被讀機號	結  果	被讀機號	結  果
1	v1
2	v2
3	v3
4	v4

（Ⅱ）當n=128時，要使所有機器都得到

n

i=1

vi，至少需要多少個單位時間可完成計算？（結論不要求證明）

Answer 1

分析：（1）由題意可知，第一個單位時間內可以完成兩個數的和，并儲存在每一個機器中；那么第二個單位時間內可以完成上一步兩個數的和，即四個數的和，并儲存在每一個機器中；由此可得當n=4時，至少需要多少個單位時間可完成計算；
（2）因n=2時，一個單位時間即可完成計算，n=4時，二個單位時間即可完成計算，依此類推，當n=128=2⁷時，至少需要7個單位時間才能完成計算．

解答：解：（Ⅰ）當n=4時，只用2個單位時間即可完成計算．方法之一如下：

機器號	初始時	第一單位時間		第二單位時間		第三單位時間
		被讀機號	結 果	被讀機號	結 果	被讀機號	結 果
1	v1	2	v1+v2	3	v1+v2+v3+v4
2	v2	1	v2+v1	4	v2+v1+v4+v3
3	v3	4	v3+v4	1	v3+v4+v1+v2
4	v4	3	v4+v3	2	v4+v3+v2+v1

（Ⅱ）當n=128=2⁷時，至少需要7個單位時間才能完成計算．

點評：本小題主要考查運用數學思想方法，分析和解決科學問題的能力．