Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，AB=PA，點E是PD上的點，且DE=λEP（0＜λ≤1）．
（Ⅰ）求證：PB⊥AC；
（Ⅱ）求λ的值，使PB∥平面ACE；
（Ⅲ）當λ=1時，求三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先證明AC⊥平面PAB，利用線面垂直的性質，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）連接BD交AC于O，連接OE，根據PB∥平面ACE，可得PB∥OE，利用O為BD的中點，可得E為PD的中點，故可求λ的值；（Ⅲ）當λ=1時，求出三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的底面積之比與高之比，可得三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比．

解答：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PA⊥AC…（1分）
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，∴AC⊥平面PAB，…（3分）
又∵PB?平面PAB，∴PB⊥AC．…4 分
（Ⅱ）解：連接BD交AC于O，連接OE，

∵PB∥平面ACE，平面ACE∩平面PBD=OE，∴PB∥OE，…6 分
又∵O為BD的中點，∴E為PD的中點，故λ=1．…8 分
（Ⅲ）解：當λ=1時，三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的底面積之比是1：2，高之比也是1：2，
故三棱錐E-ABC與四棱錐P-ABCD的體積之比是1：4…12 分

點評：本題流程線面垂直，考查線面平行，考查棱錐的體積，掌握線面垂直、平行的判定是關鍵．