Question

已知函數f(x)=

0 (x≤0) n[x-(n-1)]+f(n-1) (n-1＜x≤n，n∈N*)

數列{a_n}滿足a_n=f（n）（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設x軸、直線x=a與函數y=f（x）的圖象所圍成的封閉圖形的面積為S（a）（a≥0），求S（n）-S（n-1）（n∈N^*）；
（3）在集合M={N|N=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數N，使得不等式a_n-1005＞S（n）-S（n-1）對一切n＞N恒成立？若存在，則這樣的正整數N共有多少個？并求出滿足條件的最小的正整數N；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用條件，可得f（n）-f（n-1）=n，利用疊加法可得結論；
（2）S（n）-S（n-1）為一直角梯形（n=1時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為f（n-1），f（n），高為1，可得結論；
（3）設滿足條件的正整數N存在，可得N中的數成首項為2010，公差為2的等差數列，從而可得結論．

解答：解：（1）由題意，f（n）=n[n-（n-1）]+f（n-1），∴f（n）-f（n-1）=n
∴f（1）-f（0）=1，f（2）-f（1）=2，…，f（n）-f（n-1）=n，
疊加可得f（n）-f（0）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

∵f（0）=0
∴f（n）=

n(n+1)

2

∴a_n=

n(n+1)

2

；
（2）S（n）-S（n-1）為一直角梯形（n=1時為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長分別為f（n-1），f（n），高為1
∴S(n)-S(n-1)=

f(n-1)+f(n)

2

×1=

an-1+an

2

=

1

2

[

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

]=

n2

2

…（8分）
（3）設滿足條件的正整數N存在，則 

n(n+1)

2

-1005＞

n2

2

?

n

2

＞1005?n＞2010
又M={2000，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}
∴N=2010，2012，…，2998均滿足條件，它們構成首項為2010，公差為2的等差數列．
設共有m個滿足條件的正整數N，則2010+2（m-1）=2998，解得m=495
∴M中滿足條件的正整數N存在，共有495個，N_min=2010…（12分）

點評：本題考查數列與函數的結合，考查等差數列的通項，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．