Question

已知sin(π-α)-cos(π+α)=

2

3

(

π

2

＜α＜π)．
求：（1）sinα-cosα；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）．

Answer 1

分析：（1）已知等式利用誘導公式化簡，兩邊平方并利用完全平方公式及同角三角函數間的基本關系化簡求出2sinαcosα的值，根據α的范圍判斷出sinα與cosα的正負，得到sinα-cosα的正負，利用完全平方公式及二次根式的性質即可求出sinα-cosα的值；
（2）原式利用誘導公式化簡，再利用立方差公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：解：（1）∵sin（π-α）-cos（π+α）=sinα+cosα=

2

3

，
∴兩邊平方得：（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=

2

9

，即2sinαcosα=-

7

9

，
∵

π

2

＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα-cosα＞0，
則sinα-cosα=

(sinα+cosα)2-4sinαcosα

=

4

3

；
（2）sin³（2π-α）+cos³（2π-α）=-sin³α+cos³α=（cosα-sinα）（1+sinαcosα）=-

4

3

×（1-

7

18

）=-

22

27

．

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，完全平方公式，立方和公式，同角三角函數間的基本關系，以及誘導公式的作用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．