Question

【題目】如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值；

（3）設為棱上的點（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）

【解析】

（1）建立適當的空間直角坐標系，確定各點坐標，得到，，根據線面垂直的判定定理，即可證明.

（2）由（1）可知，平面的法向量，確定平面的法向量，根據，求解即可.

（3）設，確定，，根據直線與平面所成角的正弦值為，求解，即可.

（1）因為平面，平面，平面

所以，

因為

則以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

由已知可得，，，，，.

所以，，.

因為，.

所以，

又，平面，平面.

所以平面．

（2）設平面的法向量，由（1）可知，

設平面的法向量

因為，.

所以，即

不妨設，得．

所以二面角的余弦值為．

（3）設，即.

所以，即.

因為直線與平面所成角的正弦值為

所以

即解得

即．