Question

【題目】已知橢圓的離心率為分別為其左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作關(guān)于軸對稱的兩條不同的直線，若直線交橢圓于一點(diǎn)，直線交橢圓于一點(diǎn)，證明：直線過定點(diǎn).

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及的周長為，列出方程組，求得的值，即可得到橢圓的方程；

（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，利用二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求得，又由關(guān)于軸對稱的兩條不同直線的斜率只和為，化簡、求得，得到直線方程，即可作出證明.

（1）根據(jù)橢圓的離心率為，及的周長為，

可得，解得，所以故橢圓的方程為.

（2）證明：設(shè)直線方程為.

聯(lián)立方程組，整理得，

所以.

因?yàn)殛P(guān)于軸對稱的兩條不同直線的斜率只和為，

所以，即，

所以，

所以，所以.

所以直線方程為，所以直線過定點(diǎn).