Question

【題目】已知雙曲線 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 過點F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A、B兩點，AF2、BF2分別交y軸于P、Q兩點，若△PQF2的周長為12，則ab取得最大值時該雙曲線的離心率為（ ）
A.
B.
C.2
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：由題意，△ABF2的周長為24，

∵|AF2|+|BF2|+|AB|=24，

∵|AF2|+|BF2|﹣|AB|=4a，|AB|= ，

∴ =24﹣4a，∴b2=a（6﹣a），

∴y=a2b2=a3（6﹣a），∴y′=2a2（9﹣2a），

0＜a＜4.5，y′＞0，a＞4.5，y′＜0，

∴a=4.5時，y=a2b2取得最大值，此時ab取得最大值，b= ，

∴c=3 ，

∴e= = ，

故選：D．

由題意，△ABF2的周長為24，利用雙曲線的定義，可得 =24﹣4a，進而轉化，利用導數的方法，即可得出結論．