Question

若函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定義域為開區(qū)間（3，10），函數(shù)f（x）的值域是一個左閉右開的區(qū)間，則滿足要求的函數(shù)f（x）的解析式可以是f（x）=

 

（寫出一個解析式即可）．

Answer 1

分析：要求值域為左閉右開，必然有最小值1個且不能有最大值，區(qū)間（3，10）的長度應該不長于

T

2

，根據(jù)這些信息可以得到滿足要求的函數(shù)f（x）的解析式．

解答：解：∵函數(shù)f（x）的值域是一個左閉右開的區(qū)間，
∴函數(shù)f（x）必然有且只有一個最小值，而且不能有最大值，
   又 函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）的定義域為開區(qū)間（3，10），
  

T

2

＞7，即

2π

ω

＞14，不妨令

2π

ω

=16，則ω=

π

8

，再令φ=π，A=1，
   則f(x)=sin(

π

8

x+π)，由3＜x＜10， 

11π

8

＜

πx

8

+π＜

9π

4

，
∴-1≤f(x)＜

2

2

，滿足題意．
  故答案為：f(x)=sin(

π

8

x+π)．

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解決問題的難點在于對“函數(shù)f（x）的值域是一個左閉右開的區(qū)間”的理解與應用，解決的方法是特值法，屬于難題．