Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）設，是曲線圖象上的兩個相異的點，若直線的斜率恒成立，求實數的取值范圍.

（3）設函數有兩個極值點，且，若恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） 的單調增區間為，；單調減區間為；

（2）；

（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，，分別解不等式與可得函數的單調遞增區間與遞減區間；

（2）在上單調遞增，由在恒成立，求的范圍即可；（3）由是方程可得，，用表示得，令，則，構造函數（），求的導數，研究其單調性得在上單減，∴，可求得.

試題解析： （1） ，

令，∴或，∴的單調增區間為，；單調減區間為.

（2） 即，所以，令，∴在上單調遞增，∴，∴對恒成立，∴，∴對恒成立，又∵，當時取等號，∴，故.

（3），因為函數有兩個極值點，所以是方程的兩個根，即，所以是方程的兩個根，

所以有，，

∴

令，則，設（），

∴，

∴在上單減，∴，故.