Question

【題目】為實現2020年全面建設小康社會，某地進行產業的升級改造.經市場調研和科學研判，準備大規模生產某高科技產品的一個核心部件，目前只有甲、乙兩種設備可以獨立生產該部件.如圖是從甲設備生產的部件中隨機抽取400件，對其核心部件的尺寸x，進行統計整理的頻率分布直方圖.

根據行業質量標準規定，該核心部件尺寸x滿足：|x﹣12|≤1為一級品，1＜|x﹣12|≤2為二級品，|x﹣12|＞2為三級品.

（Ⅰ）現根據頻率分布直方圖中的分組，用分層抽樣的方法先從這400件樣本中抽取40件產品，再從所抽取的40件產品中，抽取2件尺寸x∈[12，15]的產品，記ξ為這2件產品中尺寸x∈[14，15]的產品個數，求ξ的分布列和數學期望；

（Ⅱ）將甲設備生產的產品成箱包裝出售時，需要進行檢驗.已知每箱有100件產品，每件產品的檢驗費用為50元.檢驗規定：若檢驗出三級品需更換為一級或二級品；若不檢驗，讓三級品進入買家，廠家需向買家每件支付200元補償.現從一箱產品中隨機抽檢了10件，結果發現有1件三級品.若將甲設備的樣本頻率作為總體的慨率，以廠家支付費用作為決策依據，問是否對該箱中剩余產品進行一一檢驗？請說明理由；

（Ⅲ）為加大升級力度，廠家需增購設備.已知這種產品的利潤如下：一級品的利潤為500元/件；二級品的利潤為400元/件；三級品的利潤為200元/件.乙種設備產品中一、二、三級品的概率分別是，，.若將甲設備的樣本頻率作為總體的概率，以廠家的利潤作為決策依據.應選購哪種設備？請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）不對剩余產品進行逐一檢驗，理由見解析；（Ⅲ）應選購乙設備，理由見解析.

【解析】

（I）利用頻率分布直方圖中的頻率（概率）求出尺寸在的產品件數，及在的產品件數，得ξ的可能取值為0，1，2，分別計算出概率得概率分布列，由分布列計算出期望；

（II）三級品的概率為（0.1+0.075）×1=0.175，計算對剩余產品逐一檢驗和對剩余產品不檢驗需支付的費用，比較后可得；

（III）利用頻率（概率）計算出兩種方案的利潤期望，比較可得．

（I）抽取的40件產品中，產品尺寸x∈[12，15]的件數為：40×[（0.2+0.175+0.075）×1]=18，

其中x∈[14，15]的產品件數為40×（0.075×1）=3，

∴ξ的可能取值為0，1，2，

∴P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），

∴ξ的分布列為：

∴Eξ＝012.

（II）三級品的概率為（0.1+0.075）×1=0.175，

若對剩余產品逐一檢驗，則廠家需支付費用50×100=5000；

若對剩余產品不檢驗，則廠家需支付費用50×10+200×90×0.175=3650，

∵5000＞3650，

故不對剩余產品進行逐一檢驗.

（III）設甲設備生產一件產品的利潤為y1，乙設備生產一件產品的利潤為y2，

則E（y1）=500×（0.3+0.2）+400×（0.150+0.175）+200×0.175=415，

E（y2）=500400200420.

∵E（y1）＜E（y2）.

∴應選購乙設備.