Question

【題目】已知函數f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.718 28…為自然對數的底數．
（1）設g（x）是函數f（x）的導函數，求函數g（x）在區間[0，1]上的最小值；
（2）若f（1）=0，函數f（x）在區間（0，1）內有零點，證明：e﹣2＜a＜1．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）=ex﹣ax2﹣bx﹣1，得g（x）=f′（x）=ex﹣2ax﹣b，所以g′（x）=ex﹣2a．

當x∈[0，1]時，g′（x）∈[1﹣2a，e﹣2a]．

當a≤ 時，g′（x）≥0，所以g（x）在[0，1]上單調遞增，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1﹣b；

當a≥ 時，g′（x）≤0，所以g（x）在[0，1]上單調遞減，

因此g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b；

當 ＜a＜ 時，令g′（x）=0，得x=ln（2a）∈（0，1），

所以函數g（x）在區間[0，ln（2a）]上單調遞減，在區間（ln（2a），1]上單調遞增，

于是，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b．

綜上所述，當a≤ 時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1﹣b；

當 ＜a＜ 時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（ln（2a））=2a﹣2aln（2a）﹣b；

當a≥ 時，g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=e﹣2a﹣b

（2）證明：設x0為f（x）在區間（0，1）內的一個零點，則由f（0）=f（x0）=0可知，

f（x）在區間（0，x0）上不可能單調遞增，也不可能單調遞減．

則g（x）不可能恒為正，也不可能恒為負．

故g（x）在區間（0，x0）內存在零點x1．

同理g（x）在區間（x0，1）內存在零點x2．故g（x）在區間（0，1）內至少有兩個零點，

由（1）知，當a≤ 時，g（x）在[0，1]遞增，故g（x）在（0，1）內至多有1個零點，

當a≥ 時，g（x）在[0，1]遞減，故g（x）在（0，1）內至多有1個零點，都不合題意，

所以 ＜a＜ ，

此時，g（x）在區間[0，ln（2a）]遞減，在區間（ln（2a），1）遞增，

因此x1∈（0，ln（2a）），x2∈（ln（2a），1），必有：g（0）=1﹣b＞0，g（1）=e﹣2a﹣b＞0，

由f（1）=0，得a+b=e﹣1＜2，有g（0）=a﹣e+2＞0，g（1）=1﹣a＞0，解得：e﹣2＜a＜1，

所以函數f（x）在區間（0，1）內有零點時，e﹣2＜a＜1．

【解析】（1）先求出函數f（x）的導數，通過討論a的范圍得出函數的單調區間，從而求出函數的最值；（2）設x0為f（x）在區間（0，1）內的一個零點，通過討論a的范圍，得出a的取值．