Question

（2012•藍山縣模擬）若函數y=f（x），x∈D同時滿足下列條件，（1）在D內為單調函數；（2）存在實數m，n．當x∈[m，n]時，y∈[m，n]，則稱此函數為D內等射函數，設f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）則：
（1）f（x）在（-∞，+∞）的單調性為

增函數

；
（2）當f（x）為R內的等射函數時，a的取值范圍是

（0，1）∪（1，2）

．

Answer 1

分析：（1）求出f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1）的導數，由其導數大于0，得到f（x）在R上是增函數．
（2）由f（x）為等射函數，得到a^x-xlna+a-3=0有兩個不等實根，令g（x）=a^x-xlna+a-3，求出其導數后進行分類討論，能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

ax+a-3

lna

（a＞0，且a≠1），
∴f′(x)=

1

lna

•lna•ax=a^x＞0，
∴f（x）在R上是增函數．
（2）∵f（x）為等射函數，
∴f（x）=

ax+a-3

lna

=x有兩個不等實根，
即a^x-xlna+a-3=0有兩個不等實根，
令g（x）=a^x-xlna+a-3，
∴g′（x）=a^xlna-lna=lna（a^x-1），
令g′（x）=0，得x=0．
①當a＞1時，x＞0時，g′（x）＞0，x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0，
∴a＜2，
故1＜a＜2；
②當0＜a＜1時，x＞0時，g′（x）＞0，x＜0時，g′（x）＜0，
∴g（x）_min=g（0）=1+a-3＜0 得a＜2，
∴0＜a＜1．
綜上所述，a∈（0，1）∪（1，2）．
故答案為：增函數，（0，1）∪（1，2）．

點評：本題考查函數的單調性的判斷和求實數的取值范圍．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化法和分類討論思想的靈活運用．