Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC，點O、D分別是AC、PC的中點．
（ I）求證：OD∥平面PAB；
（ II）求PB與平面ABC所成角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三角形中位線的性質，可得線線平行，從而可得線面平行；
（Ⅱ）連接PO，OB，先證明∠PBO是直線PB與平面ABC所成角，再求PB與平面ABC所成角．

解答：（Ⅰ）證明：∵O、D分別為AC、PC中點，∴OD∥PA
∵PA∥平面PAB，
∴OD∥平面PAB---------（4分）
（Ⅱ）解：連接PO，OB
∵PA=PC，∴PO⊥AC
∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC
∴PO⊥平面ABC
∴∠PBO是直線PB與平面ABC所成角
設AB=BC=PA=PC=1，則
∵AB⊥BC，∴0B=0C=

2

2

PO=

1-( 2 2 )2

=

2

2

∴tan∠PBO=

PO

OB

=1，∴∠PBO=45°
∴PB與平面ABC所成角為45°---------（6分）

點評：本題考查線面平行，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．