Question

（2013•三門峽模擬）給出下列四個命題：
①函數y=sin(2x-

π

6

)的圖象沿x軸向右平移

π

6

個單位長度所得圖象的函數表達式是y=cos2x．
②函數y=lg（ax²-2ax+1）的定義域是R，則實數a的取值范圍為（0，1）．
③單位向量

a

、

b

的夾角為60°，則向量2

a

-

b

的模為

3

．
④用數學歸納法證明（n+1）（n+2）…（n+n）=2ⁿ•1•3…（2n-1）（n∈N^*）時，從k到k+1的證明，左邊需增添的因式是2（2k+1）．
其中正確的命題序號是

③④

（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：根據函數圖象平移變換法則，求出平移后函數的解析式，并利用誘導公式，進行化簡，可判斷①；
舉出反例a=0，進而判斷②；
利用平方法，求出向量2

a

-

b

的模，進而可判斷③；
根據數學歸納法的證明方法和步驟，可判斷④．

解答：解：函數y=sin(2x-

π

6

)的圖象沿x軸向右平移

π

6

個單位長度所得圖象的函數y=sin[2(x-

π

6

)-

π

6

]=sin(2x-

π

2

)=-cos2x，故①錯．
當a=0時，函數f（x）的定義域也為R，故②錯．
（2

a

-

b

）²=4

a

²-4

a

•

b

+

b

²=4-4×

1

2

+1=3，故2

a

-

b

的模為

3

，故③正確．
當n=k時，左邊為（k+1）（k+2）…（k+k），
當n=k+1時，左邊為（k+1+1）（k+1+2）…（k+1+k-1）（k+1+k）（k+1+k+1）
=（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）[2（k+1）]
故需增添的因式為2（2k+1），故④正確．
故正確的命題序號為③④．

點評：本題考查的知識點是函數圖象的平移變換法則，對數函數的定義域，向量的模，數學歸納法，熟練掌握上述基本知識點是解答的關鍵．