Question

在下列四個命題中：
①函數y=tan(x+

π

4

)的定義域是{x|x≠

π

4

+kπ，k∈Z}；
②已知sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，則α的取值集合是{

π

6

}；
③函數f（x）=sin2x+acos2x的圖象關于直線x=-

π

8

對稱，則a的值等于-1；
④函數y=cos²x+sinx的最小值為-1．
把你認為正確的命題的序號都填在橫線上

 

．

Answer 1

分析：①根據正切函數的定義可知定義域為x+

π

4

≠kπ+

π

2

解出x的范圍即可判斷；
②因為sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]，根據特殊角的三角函數值可得α的值即可判斷；
③由函數關于直線x=-

π

8

對稱得到f（0）=f（-

π

4

），代入求出a即可判斷；
④利用同角三角函數間的基本關系化簡y，并利用二次函數求最值的方法得到y的最小值即可判斷．

解答：解：根據正切函數的定義得：x+

π

4

≠

π

2

+kπ?x≠

π

4

+kπ(k∈Z)，故①正確；
由sinα=

1

2

，且α∈[0，2π]?α=

π

6

或α=

5π

6

，故②不正確；
函數f（x）的圖象關于直線x=-

π

8

對稱?f(0)=f(-

π

4

)?a=-1，故③正確；y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-(sinx-

1

2

)2+

5

4

，-1≤y≤

5

4

，故④正確．
所以正確的序號有：①③④
故答案為①③④

點評：本題考查學生知識比較多，考查了正切函數的定義域，特殊角的三角函數值，以及正弦函數的對稱性，利用同角三角函數間的基本關系化簡求值，二次函數求最值的方法．