Question

如圖，某小區有一邊長為2（單位：百米）的正方形地塊OABC，其中OAE是一個游泳池，計劃在地塊OABC內修一條與池邊AE相切的直路l（寬度不計），切點為M，并把該地塊分為兩部分．現以點O為坐標原點，以線段OC所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，若池邊AE滿足函數y=-x²+2（0≤x≤

2

）的圖象，且點M到邊OA距離為t(

2

3

≤t≤

4

3

)．
（1）當t=

2

3

時，求直路l所在的直線方程；
（2）當t為何值時，地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積取到最大，最大值是多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）求當t=

2

3

時，直路l所在的直線方程，即求拋物線y=-x²+2（0≤x≤

2

）在x=

2

3

時的切線方程，利用求函數的導函數得到切線的斜率，運用點斜式寫切線方程；
（Ⅱ）求出x=t時的拋物線y=-x²+2（0≤x≤

2

）的切線方程，進一步求出切線截正方形在直線右上方的長度，利用三角形面積公式寫出面積，得到的面積是關于t的函數，利用導數分析面積函數在（0＜t＜

2

）上的極大值，也就是最大值．

解答：解：（I）∵y=-x²+2，∴y′=-2x，
∴過點M（t，-t²+2）的切線的斜率為-2t，
所以，過點M的切線方程為y-（-t²+2）=-2t（x-t），
即y=-2tx+t²+2，
當t=

2

3

時，切線l的方程為y=-

4

3

x+

22

9

，
即當t=

2

3

時，直路l所在的直線方程為12x+9y-22=0；
（Ⅱ）由（I）知，切線l的方程為y=-2tx+t²+2，
令y=2，得x=

t

2

，故切線l與線段AB交點為F（

t

2

，2），
令y=0，得x=

t

2

+

1

t

，故切線l與線段OC交點為（

t

2

+

1

t

，0）．
地塊OABC在切線l右上部分為三角形FBG，如圖，

則地塊OABC在直路l不含泳池那側的面積為S=

1

2

（2-

t

2

-

1

t

+2-

t

2

）×2=4-t-

1

t

=4-（t+

1

t

）≤2．當且僅當t=1時，取等號．
∴當t=100米時，地塊OABC在直路l不含游泳池那側的面積最大，最大值為20000平方米．

點評：本題考查了函數模型的選擇與應用，考查了利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數的最值，在實際問題中，函數在定義域內僅含一個極值，該極值往往就是最值．屬中檔題型．