Question

若P是雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)和圓C₂：x²+y²=a²+b²的一個交點，且∠PF₂F₁=2∠PF₁F₂，其中F₁、F₂是雙曲線C₁的兩個焦點，則雙曲線C₁的離心率的為

 

．

Answer 1

分析：a²+b²=c²，知圓C₂必過雙曲線C₁的兩個焦點，∠F1PF2=

π

2

，2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=

π

3

，則|PF₂|=c，|PF1| =

3

c，由此能求出雙曲線的離心率．

解答：解：∵a²+b²=c²，
∴圓C₂必過雙曲線C₁的兩個焦點，∠F1PF2=

π

2

，
2∠PF₁F₂=∠PF₂F₁=

π

3

，則|PF₂|=c，|PF1| =

3

c，
故雙曲線的離心率為

2c

3 c-c

=

3

+1．
故答案為：

3

+1．

點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件．