Question

已知函數f(x)=

1-x

ax

+lnx（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；（2）討論函數f（x）的單調性；（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

分析：（1）函數f（x）在[1，+∞）上為增函數則f'（x）≥0對x∈[1，+∞）恒成立，建立關系式，解之即可；
（2）求出f（x）的導函數，化簡整理后，根據a小于0和a大于0，分別討論導函數的正負即可得到函數的單調區間；
（3）先研究函數f（x）在[1，+∞）上的單調性，令x=

n

n-1

，易得ln

n

n-1

＞

1

n

，然后利用lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

即可證得結論．

解答：解：（1）∵f(x)=

1-x

ax

+lnx∴f'（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）…1
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數∴f'（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立
ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1  （4分）
（2）∵a≠0f′(x)=

a(x- 1 a )

ax2

=

x- 1 a

x2

，x＞0，
當a＜0時，f'（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，∴f（x）的增區間為（0，+∞）…5
當a＞0時，f′(x)＞0?x＞

1

a

，f′(x)＜0?x＜

1

a

∴f（x）的增區間為(

1

a

，+∞)，減區間為（0，

1

a

）…6
（3）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，f'（x）=

x-1

x2

，故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0…8
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴lnn＞ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

點評：此題考查學生會根據導函數的正負判斷得到函數的單調區間，會根據函數的增減性證明不等式，是一道綜合題．