Question

【題目】已知點M是圓C：（x+1）2+y2＝8上的動點，定點D（1，0），點P在直線DM上，點N在直線CM上，且滿足2，0，動點N的軌跡為曲線E．

（1）求曲線E的方程；

（2）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．

【解析】

（1）由已知得NP為DM的垂直平分線，|ND|＝|NM|，，由此能求了軌跡E的方程．

（2）法一：設直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．

（2）法二：設直線AB的方程為y＝kx+m，由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線的距離公式，結合已知條件能求出△AOB面積S的最大值．

（1）解：因為，，

所以NP為DM的垂直平分線，

所以|ND|＝|NM|，又因為，

所以

所以動點N的軌跡是以點C（﹣1，0），D（1，0）為焦點的長軸為的橢圓．

所以軌跡E的方程為．

（2）解法一：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，

則弦AB不能與x軸垂直，故可設直線AB的方程為y＝kx+m，

由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，

所以，

因為|AB|＝2，所以，即

所以，即，

因為1+k2≥1，所以．

又點O到直線AB的距離，

因為h，

所以S2＝h2＝2m2（1﹣m2）

所以，即S的最大值為．

（2）解法二：因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，

則弦AB不能與x垂直，故可設直線AB的方程為y＝kx+m，

由，消去y，并整理，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0．

設A（x1，y1），B（x2，y2），又△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＞0，

所以，．

因為|AB|＝2，所以．

因為，

所以，

所以，

又點O到直線AB的距離，所以h．

所以S2＝h2．

設，則，

所以，即S的最大值為．