Question

（2012•甘肅一模）（理科）已知球O的表面積為4π，A，B，C三點都在球面上，且A與B、A與C的球面距離均為

π

2

，|BC|=

3

，則球心O到平面ABC的距離為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  3

• C．

  5

  5

• D．

  2 5

  5

Answer 1

分析：先確定|AB|、|AC|，AO⊥平面BOC，再取BC的中點D，連接OD，AD，過O作OO′⊥AD，則OO′⊥平面ABC，OO′為球心O到平面ABC的距離，利用等面積可求．

解答：解：∵球O的表面積為4π，∴球O的半徑為1
∵A與B、A與C的球面距離均為

π

2

，
∴|AB|=

2

，|AC|=

2

，∠AOB=∠AOC=

π

2

∴AO⊥平面BOC
取BC的中點D，連接OD，AD，過O作OO′⊥AD，則OO′⊥平面ABC，OO′為球心O到平面ABC的距離
在直角△AOD中，AO=1，OD=

1

2

，∴AD=

5

2

根據等面積可得1×

1

2

=

5

2

×OO′
∴OO′=

5

5

故選C．

點評：本題考查球面距離，考查點到平面距離，考查學生的計算能力，屬于中檔題．