Question

【題目】已知曲線的方程為．

（1）當(dāng)時(shí)，試確定曲線的形狀及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若直線交曲線于點(diǎn)、，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試問(wèn)此時(shí)曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱？

（3）當(dāng)為大于1的常數(shù)時(shí)，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作一條斜率為的直線，又設(shè)為原點(diǎn)到直線的距離，分別為點(diǎn)與曲線兩焦點(diǎn)的距離，求證是一個(gè)定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】(1) 曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，焦點(diǎn)坐標(biāo)為； (2) 見(jiàn)解析；(3)見(jiàn)證明

【解析】

（1）將a代入，兩邊平方并化簡(jiǎn)，可得曲線C的方程及形狀；

（2）將代入曲線，利用PQ中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求出m，驗(yàn)證判別式是否成立，可得結(jié)論．

（3）將曲線C化簡(jiǎn)，得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，求得，再求得點(diǎn)到直線的距離，代入化簡(jiǎn)得到定值.

（1）當(dāng)時(shí)，，兩邊平方并化簡(jiǎn)得，

∴曲線是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1，短半軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；

（2）將代入，消去，

得，由題意，，

即，解得或（舍），此時(shí)，，，

設(shè)，，，

將代入，得，則，

的中點(diǎn)坐標(biāo)為在對(duì)稱軸上，∴，解得，

不滿足，∴曲線上不存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱；

（3），兩焦點(diǎn)坐標(biāo)為、，，

，即，

∴，

用替換中的，

可得，∴，

∴．