Question

用a，b，c，d四個不同字母組成一個含n+1（n∈N⁺）個字母的字符串，要求由a開始，相鄰兩個字母不同．例如n=1時，排出的字符串是ab，ac，ad；n=2時排出的字符串是aba，abc，abd，aca，acb，acd，ada，adb，adc，…，如圖所示．記這含n+1個字母的所有字符串中，排在最后一個的字母仍是a的字符串的種數為a_n．
（1）試用數學歸納法證明：；
（2）現從a，b，c，d四個字母組成的含n+1（n∈N^*，n≥2）個字母的所有字符串中隨機抽取一個字符串，字符串最后一個的字母恰好是a的概率為P，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，易得n=1時，等式成立，進而假設設n=k時，等式正確，再分析n=k+1時的等式與n=k的等式之間的關系，驗證n=k+1時等式仍成立；綜合可得證明；
（2）根據題意，易得易知，分①當n為奇數（n≥3）與②當n為偶數（n≥2）兩種情況，分別求得P，綜合可得證明．
解答：（1）證明：
（ⅰ）當n=1時，因為a₁=0，，所以等式正確．
（ⅱ）假設n=k時，等式正確，即，
那么，n=k+1時，因為，
這說明n=k+1時等式仍正確．
據（ⅰ），（ⅱ）可知，正確；
（2）解：易知，
①當n為奇數（n≥3）時，，
因為3ⁿ≥27，所以，又，所以；
②當n為偶數（n≥2）時，，
因為3ⁿ≥9，所以，又，所以．
綜上所述，．
點評：本題考查數學歸納法的運用，注意數學歸納法的步驟，2個步驟必須完整、嚴密，第二步尤其重要，否則將會影響解題的嚴密性，甚至得到錯誤的結論．