Question

若對滿足

2

x-1

＞1的任意實數x，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知得1＜x＜3，設f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3），故f‘（x）=6x²+6x-36，由f‘（x）=0得x=2，x=-3舍．由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：由已知得1＜x＜3，
設f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f’（x）=6x²+6x-36，
由f’（x）=0得x=2，x=-3舍．
當1＜x＜2時，f′（x）＜0，
當2＜x＜3時，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2處取得最小值 f（2）=-44-6a≥0，
∴a≤-

22

3

．…（10分）

點評：本題考查利用導數求閉區間上函數最值的應用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．