Question

如圖，在棱長為的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.

（1）求證：；

（2）在棱上確定一點，使、、、四點共面，并求此時的長；

（3）求幾何體的體積.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）連接，先由正方體的性質得到，以及平面，從而得到，利用直線與平面垂直的判定定理可以得到平面，于是得到；（2）假設四點、、、四點共面，利用平面與平面平行的性質定理得到，，于是得到四邊形為平行四邊形，從而得到的長度，再結合勾股定理得到的長度，最終得到的長度；（3）連接，由正方體的性質得到，結合（1）中的結論平面，得到

平面，然后選擇以點為頂點，為高，四邊形為底面的四棱錐，利用錐體的體積公式計算幾何體的體積.

試題解析：（1）如下圖所示，連接，

由于為正方體，所以四邊形為正方形，所以，

且平面，，

，平面，

平面，；

（2）如下圖所示，假設、、、四點共面，則、、、四點確定平面，

由于為正方體，所以平面平面，

平面平面，平面平面，

由平面與平面平行的判定定理得，

同理可得，因此四邊形為平行四邊形，，

在中，，，，

由勾股定理得，

在直角梯形中，下底，直角腰，斜腰，

由勾股定理可得，

結合圖形可知，解得；

（3）如下圖所示，連接交于點，

由于為正方體，，，，

所以四邊形為平行四邊形，，

由（1）知，平面，所以平面，平面，

由于為棱長為正方體，所以，

，

在直角梯形中，直角腰，上底，下底，

因此梯形的面積，

因此幾何體的體積.

考點：1.直線與平面垂直的判定與性質；2.平面與平面平行的性質定理；3.錐體的體積的計算