Question

已知命題p：x²-x-2≤0，命題q：x²-x-m²-m≤0．
（1）求￢p
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求m的范圍．

Answer 1

分析：（1）先解命題p對應的不等式，再求￢p；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，則￢p⇒￢q，反之不成立，所以q⇒p成立，反之不成立，即q是p的充分不必要條件，對命題q對應的不等式，分類求解，即可求得m的范圍．

解答：解：（1）解不等式x²-x-2≤0，可得-1≤x≤2
∴￢p對應的集合為{x|x＜-1或x＞2}；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，則￢p⇒￢q，反之不成立
∴q⇒p成立，反之不成立
由命題q：x²-x-m²-m≤0可知
①m=-

1

2

時，原不等式的解集為{-

1

2

}，不合題意；
②m＞-

1

2

時，m+1＞-m，原不等式的解集為[-m，m+1]
∴

-m≥-1 m+1≤2

，∴m≤1，∴-

1

2

＜m≤1；
③m＜-

1

2

時，m+1＜-m，原不等式的解集為[m+1，-m]
∴

m+1≥-1 -m≤2

，∴m≥-2，∴-2≤m＜-

1

2

綜上知，m的范圍為[-2，-

1

2

)∪(-

1

2

，1]．

點評：本題以不等式為載體，考查命題的否定，考查四種條件，解題時解不等式，利用四種條件等價轉化是關鍵．