Question

當n=1時，有（a-b）（a+b）=a²-b²；當n=2時，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；當n=3時，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；當n=4時，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；當n∈N^*時，可歸納出的結論是________．

Answer 1

（a-b）（aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ）=aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹
分析：根據所給信息，可知兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數均為n-1，而且按照字母a的降冪排列，故可得答案．
解答：由題意，當n=1時，有（a-b）（a+b）=a²-b²；
當n=2時，有（a-b）（a²+ab+b²）=a³-b³；
當n=3時，有（a-b）（a³+a²b+ab²+b³）=a⁴-b⁴；
當n=4時，有（a-b）（a⁴+a³b+a²b²+ab³+b⁴）=a⁵-b⁵；
所以當n∈N^*時，有（a-b）（aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ）=aⁿ-bⁿ；
故答案為當n∈N^*時，有（a-b）（aⁿ+a^n-1b+…+ab^n-1+bⁿ）=aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹；
點評：本題的考點是歸納推理，主要考查信息的處理，關鍵是根據所給信息，可知兩因式中，一項為（a-b），另一項每一項的次數均為n-1，而且按照字母a的降冪排列．