Question

已知函數f(x)=x+

2a

x

（a為常數）的圖象經過點（1，3）．
（1）求實數a的值；
（2）寫出函數f（x）在[a，a+1]上的單調區間，并求函數f（x）在[a，a+1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）只需要代入x=1即可得結果．
（2）首先要判斷函數的單調區間，然后利用單調性來解答函數治值域的問題，這是求函數值域的重要方法．利用定義求單調區間的時候，要注意x₁，x₂的任意性，本題中求單調區間需要分1≤x₁＜x₂≤

2

和-

2

≤x₁＜x₂≤2進行討論．

解答：解：（1）由已知f(1)=1+

2a

1

=2a+1=3，得a=1；
    （2）有（1）知a=1，所以函數f(x)=x+

2

x

，
    在[1，2]上可設設1＜x₁＜x₂＜2，則
    f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）
=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2-2

x1x2

    因為0＜x₁＜x₂，所以x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞0，
    當1＜x₁＜x₂≤

2

時，x₁•x₂-2＜0，所以

x1x2-2

x1x2

＜0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
    所以f（x）在（1，

2

]上是減函數．
    當

2

≤x₁＜x₂＜2時，x₁•x₂-2＞0，所以

x1x2-2

x1x2

＞0
    所以：f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
    所以f（x）在[

2

，2）上是增函數．
    因此函數f（x）在[a，a+1]即在[1，2]上的單調區間為：
    減區間為[1，

2

]，增區間為[

2

，2]．
    所以函數在[1，2]上的最小值為f（

2

）=2

2

，
    又因為f（1）=3，f（2）=3，所以函數的值域是[2

2

，3]．

點評：本題考查函數的解析式，函數值的求法，函數單調性以及利用函數單調性解答函數值域和最值的知識．