Question

已知函數f（x）=x³-2x²-4x-7，其導函數為f′（x）．
①f（x）的單調減區間是(

2

3

，2)；
②f（x）的極小值是-15；
③當a＞2時，對任意的x＞2且x≠a，恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a）
④函數f（x）滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0
其中假命題的個數為（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：由f（x）=x³-2x²-4x-7，知f′（x）=3x²-4x-4，令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．列表討論，知①錯誤，②正確；由a＞2，x＞2且x≠a，利用作差法知f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）＞0，故③正確；由f（x）=x³-2x²-4x-7，知函數f（x）不滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，故④不正確．

解答：解：∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴f′（x）=3x²-4x-4，
令f′（x）=3x²-4x-4=0，得x 1=-

2

3

，x₂=2．
列表討論

x	（-∞，- 2 3 ）	- 2 3	（- 2 3 ，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↓		↓	極小值	↑

∴減區間為（-∞，2]，增區間為[2，+∞），
當x=2時，函數有極小值f（2）=8-2×4-4×2-7=-15，
故①錯誤，②正確；
∵a＞2，x＞2且x≠a，
∴f（x）-f（a）-f′（a）（x-a）
=x³-2x²-4x-a³+2a²+4a-（3a²-4a-4）（x-a）
=x³+2a³-2x²-2a²-3a²x+4ax＞0，
∴恒有f（x）＞f（a）+f′（a）（x-a），
故③正確；
∵f（x）=x³-2x²-4x-7，
∴函數f（x）不滿足f(

2

3

-x)+f(

2

3

+x)=0，
故④不正確，
故選C．

點評：本題考查函數的單調區間、極值的求法，考查不等式的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想和導數性質的靈活運用．