Question

沒橢圓的左、右焦點分別F₁、F₂，點P是橢圓短軸的一個端點，且焦距為6，△P F₁F₂的周長為16．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線l被橢圓C所截線段的中點坐標．

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓的焦距為2c，由題意得，解得，
∴橢圓C的方程為；
（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為的直線l的方程為，
與橢圓的方程聯立，消去y得到x²-3x-8=0，
∵x₁+x₂=3，∴線段AB的中點的橫坐標為．
∴線段AB的中點的縱坐標為=．
∴線段AB的中點的坐標為．
分析：（Ⅰ）利用橢圓的標準方程及其參數a、b、c的關系即可得出；
（Ⅱ）把直線與橢圓的方程聯立，利用根與系數的關系就線段的中點坐標公式即可得出．
點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、根與系數的關系、線段的中點坐標公式是解題的關鍵．