Question

【題目】已知函數f（x）= x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R），其圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y﹣3=0．
（1）求a，b的值；
（2）求函數f（x）的單調區間，并求出f（x）在區間[﹣2，4]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，

∵（1，f（1））在x+y﹣3=0上，

∴f（1）=2，

∵（1，2）在y=f（x）上，

∴2= ﹣a+a2﹣1+b，

又f′（1）=﹣1，

∴a2﹣2a+1=0，

解得a=1，b=

（2）解：∵f（x）= x3﹣x2+ ，

∴f′（x）=x2﹣2x，

由f′（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的極值點，所以有

x	（﹣∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以f（x）的單調遞增區間是（﹣∞，0）和（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）．

∵f（0）= ，f（2）= ，f（﹣2）=﹣4，f（4）=8，

∴在區間[﹣2，4]上的最大值為8

【解析】（1）根據導數的幾何意義求出函數在x=1處的導數，從而得到切線的斜率，建立等式關系，再根據切點在函數圖象建立等式關系，解方程組即可求出a和b，從而得到函數f（x）的解析式；（2）先求出f′（x）=0的值，根據極值與最值的求解方法，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．