Question

（本小題滿分14分）

已知數列的首項為，對任意的，定義.

（Ⅰ） 若，求；

（Ⅱ） 若，且.

（ⅰ）當時，求數列的前項和；

（ⅱ）當時，求證：數列中任意一項的值均不會在該數列中出現無數次.

Answer 1

（本小題滿分14分）

(Ⅰ) 解：,,

.                                 ………………3分

（Ⅱ）（ⅰ）解：因為（），

所以，對任意的有，

即數列各項的值重復出現，周期為.                     ………………5分

又數列的前6項分別為，且這六個數的和為7.

設數列的前項和為，則，

當時，

，      

當時，

    ，                     ………………7分

所以，當為偶數時，；當為奇數時，. ………………8分

（ⅱ）證明：由（ⅰ）知：對任意的有，

又數列的前6項分別為，且這六個數的和為.

設，（其中為常數且），

所以

. 

所以，數列均為以為公差的等差數列.          ………………10分

因為時，，時，，  ………………12分

所以{}為公差不為零的等差數列，其中任何一項的值最多在該數列中出現一次.

所以數列中任意一項的值最多在此數列中出現6次，

即任意一項的值不會在此數列中重復出現無數次.               ………………14分