Question

對于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；已知f（x）=x²+bx+c．
（1）若f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-3，2，求函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)？
（2）已知當(dāng)c=

9

4

時(shí)，函數(shù)f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍？

Answer 1

分析：（1）-3，2為x²+（b-1）x+c=0的兩根，解方程可求得b、c的值，從而可求得函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)c=

9

4

時(shí)，函數(shù)f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，就是方程x²+（b-1）x+

9

4

=0無實(shí)數(shù)根，由△＜0即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為-3，2，
∴-3，2是方程x²+bx+c=x的兩根，
整理得：x²+（b-1）x+c=0，
∴-3+2=1-b，-3×2=c，
∴b=2，c=-6．
∴f（x）=x²+bx+c=x²+2x-6
由f（x）=0得其零點(diǎn)為x_1，2=

-2± 4-4×1×(-6)

2

=-1±

7

．
（2）∵c=

9

4

時(shí)，函數(shù)f（x）沒有不動(dòng)點(diǎn)，
∴x²+（b-1）x+

9

4

=0無實(shí)數(shù)根，
∴△=（b-1）²-9＜0，解得-2＜b＜4．
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為：-2＜b＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的解法，方程根的情況以及函數(shù)的零點(diǎn)．其中根據(jù)已知中的新定義，構(gòu)造滿足條件的方程是解答本題的關(guān)鍵．