Question

【題目】橢圓的離心率是，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線與軸平行時(shí)，直線被橢圓截得的線段長為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使得直線變化時(shí)，總有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在定點(diǎn)滿足題意.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率是，直線被橢圓截得的線段長為列方程組求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程為，由得， ，根據(jù)韋達(dá)定理及斜率公式可得，令，可得符合題意.

試題解析：（1）∵，∴，

橢圓方程化為： ，由題意知，橢圓過點(diǎn)，

∴，解得，

所以橢圓的方程為： ；

（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程： ，

由得， ，

設(shè)，

假設(shè)存在定點(diǎn)符合題意，∵，∴，

∴

，

∵上式對任意實(shí)數(shù)恒等于零，∴，即，∴，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)， 兩點(diǎn)分別為橢圓的上下頂點(diǎn)，

顯然此時(shí)，綜上，存在定點(diǎn)滿足題意．