Question

（2013•石家莊二模）選修4-1：幾何證明選講
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，以AB為直徑做圓0交AC于點D．
（Ⅰ）求線段CD的長度；
（Ⅱ）點E為線段BC上一點，當點E在什么位置時，直線ED與圓0相切，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）由勾股定理易求得AB的長；可連接BD，由圓周角定理知AD⊥BD，易知△ABC∽Rt△BDC，可得關于AC、CD、BC的比例關系式，即可求出CD的長．
（II）當ED與⊙O相切時，由切線長定理知ED=EB，則∠EBD=∠EDB，那么∠OBD和∠ODB就是等角的余角，由此可證得BE=CE，即E是BC的中點．在證明時，可連接OD，證OD⊥DE即可．

解答：解：（Ⅰ）連結BD，在直角三角形ABC中，易知AC=5，∠BDC=∠ADB=90°，…（2分）
所以∠BDC=∠ABC，又因為∠C=∠C，所以△ABC∽Rt△BDC，
所以

CD

BC

=

BC

AC

，所以CD=

BC2

AC

=

9

5

．…（5分）
（Ⅱ）當點E是BC的中點時，ED與⊙O相切；
證明：連接OD，
∵DE是Rt△BDC的中線；
∴ED=EB，
∴∠EBD=∠EDB；
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB；
∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°；
∴ED⊥OD，
∴ED與⊙O相切．

點評：此題綜合考查了圓周角定理、相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質、切線的判定等知識．