Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍，并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2），證明見解析

【解析】

（1）先求導(dǎo)可得,分別討論和的情況,進(jìn)而求解即可；

（2）設(shè),當(dāng)時由單調(diào)則不符合題意；當(dāng)時,,可得,利用零點存在性定理可判斷,,進(jìn)而求解即可；由于,可得,,則,設(shè)可得,進(jìn)而證明在時恒成立即可

（1）由題意得,

①當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時,由,得,

當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.

（2）由于有兩個零點,不妨設(shè),

由（1）可知,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,不符合題意；

當(dāng)時,,,即,解得,

此時有,所以存在,使得,

由于,所以在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)時,；

所以,

所以存在,使得,

綜上,當(dāng)時,有兩個零點.

證明:由于,,且,則,

所以,,所以,

設(shè),有,則,

要證,只需證,即證,

設(shè),則,

所以在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時,,即,

故