Question

以下四個命題中，真命題的個數是（　　）
①若p∨q為假命題，則p，q均為假命題；
②命題“若x²-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x²-3x+2≠0”；
③命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x²+x+1≥0”；
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要條件．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①“或”命題的判斷方法是：當p，q兩個命題有一個命題是真命題時，p∨q為真命題；當p，q兩個命題都是假命題時，p∨q為假命題．據此可以判斷出①是真命題．
②由命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”不難判斷出②是真命題．
③根據命題“?x∈R，結論p成立”的否定是“?x∈R，結論p的反面成立”可知③是真命題．
④在△ABC中，A＜B?sin

A-B

2

＜0?sinA＜sinB，據此可知：在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充要條件．

解答：解：①因為“當p，q兩個命題都是假命題時p∨q為假命題”，所以由已知“p∨q為假命題”可知：p，q均為假命題，所以①是真命題；
②由命題“若p，則q”的逆否命題是“若￢q，則￢p”可知：命題“若x²-3x+2=0，則x=1”的逆否命題為“若x≠1，則x²-3x+2≠0”是真命題；
③根據命題“?x∈R，結論p成立”的否定是“?x∈R，結論p的反面成立”可知命題“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是“?x∈R，都有x²+x+1≥0”是真命題；
④∵sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

，在△ABC中，∵0＜A+B＜π，∴0＜

A+B

2

＜

π

2

，∴cos

A+B

2

＞0；
由0＜A＜B＜π，得-

π

2

＜

A-B

2

＜0，∴sin

A-B

2

＜0，∴sinA-sinB＜0．反之亦成立．因此，在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充要條件．故④是假命題．
故①②③是真命題，應選C．

點評：本題考查了復合命題與特稱命題的真假，掌握好有關基礎知識及判斷方法是解決問題的關鍵．