Question

一個正方體形狀的鐵桶ABCD-A₁B₁C₁D₁的內壁的體積為V，里面裝有體積為

2

3

V的水，放在水平地面上（如圖所示），現沿棱AB將鐵桶傾斜，當鐵桶中的水剛好要留出時，傾斜角（平面ABB₁A₁與地面所成的二面角）的余弦值為

 

．

Answer 1

分析：解決本題的關鍵是要抓住傾斜前后的體積不變去計算，計算時要注意有水部分的幾何體的形狀由先前的長方體變成了后來的四棱臺，計算棱臺的體積需要知道上下底面的面積，故可設ED=x，由體積關系進一步得到：x與a的關系；通過思考、觀察可知：由等角定理可知：∠B₁EA=∠A₁AG，可以證明：∠A₁AG即為平面ABB₁A₁與地面所成的二面角的平面角，所以在Rt△A₁B₁E中，可以求得∠B₁EA的余弦值的大小，即∠A₁AG的余弦值的大小，此值即為所求．

解答：解：如圖所示，四邊形A₁EFD₁所在的平面即為當鐵桶中的水剛好要留出時的水面，
設正方體的棱長為a，ED=x，
則S_{四邊形A1ABD1}=a²，S_{四邊形EDCF}=ax，v=a³
∴V_{四棱臺EFCD-A1ABD1}=

1

3

•a•（a²+ax+

a2•ax

）=

2

3

a3
∴x+

ax

-a=0
∴x=(

5 -1

2

)2a
∴B1E=

5 -1

2

a
又∵A₁B₁=a，
∴A₁E=

5- 5

2

a
∴cos∠B₁EA=

B1E

A1E

=

5

5

又∵B₁E∥A₁A，A₁E∥GA，
∴∠B₁EA=∠A₁AG
又∵A₁A⊥AB，GA⊥AB，
∴∠A₁AG即為平面ABB₁A₁與地面所成的二面角的平面角
又∵cos∠A₁AG=

5

5

∴所求傾斜角的余弦值為

5

5

故答案為：

5

5

點評：本小題主要考查棱柱、棱錐、棱臺的結構特征、體積計算，二面角和線面關系等基本知識，同時考查空間想象能力和推理、運算能力．