Question

【題目】函數f（x）（x＞0）的導函數為f′（x），若xf′（x）+f（x）=ex ， 且f（1）=e，則（ ）
A.f（x）的最小值為e??
B.f（x）的最大值為e
C.f（x）的最小值為 ??
D.f（x）的最大值為

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設g（x）=xf（x）， ∴g′（x）=xf′（x）+f（x）=ex ，
∴g（x）=ex ，
∴xf（x）=ex ，
∴f（x）= ，
∴f′（x）= ，
令f′（x）=0，解得x=1，
當f′（x）＞0，時，解得x＞1，函數f（x）在（1，+∞）單調遞增，
當f′（x）＜0，時，解得0＜x＜1，函數f（x）在（1，+∞）單調遞減，
∴f（x）min=f（1）=e，
故選：A．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．