Question

棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，EF是異面直線AC與AD₁的公垂線，
求證：EF∥BD₁．

Answer 1

分析：建立空間直角坐標系，設出點的坐標，得出向量坐標，證明

BD1

∥

EF

，可得結論．

解答：證明：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz，
設正方體的棱長為a，則A₁（a，0，a），D（0，0，0），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），D₁（0，0，a），
∴

DA

1=（a，0，a），

AC

=（-a，a，0），

BD

1=（-a，-a，a）．
∵EF是直線AC與A₁D的公垂線．
∴

EF

⊥

DA

1，

EF

⊥

AC

．
設

EF

=（x，y，z），
∴

EF

•

DA

1=（x，y，z）•（a，0，a）=ax+az=0，
∴

EF

•

AC

=（x，y，z）•（-a，a，0）=-ax+ay=0．
∵a≠0，∴x=y=-z．
∴

EF

=（x，x，-x），∴

BD

1=-

a

x

EF

，
∴

BD1

∥

EF

，
∴EF∥BD₁．

點評：本題考查線線平行，考查向量知識的運用，正確確定向量坐標是關鍵．