Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，試討論函數的單調性；

（Ⅲ）設斜率為的直線與函數的圖象交于兩點（）,證明：．

Answer 1

【答案】（I）；（II）當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，當時，在上單調遞增；（III）證明見解析.

【解析】

試題分析：（I）當時，，根據，，求得切線方程為；（II）定義域為，求導得，由得，，，對分成類，結合函數圖像進行分類討論的單調區間；（III）先用分析法分析，要證，即證，因，即證，令（），即證（），令利用導數可證明上述不等式成立.

試題解析：

（Ⅰ）依題意得，則，，

則曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）∵函數的定義域為,且

，

當時，由得，，，

①當時，，由得，，或；由得，，所以在，上單調遞增，在上單調遞減……6分

③ 當時，，由得，，或；由得，，

所以在，上單調遞增，在上單調遞減

③當時，，在上，，

所以在上單調遞增.

綜上,當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在，上單調遞增，在上單調遞減；

當時，在上單調遞增.

（Ⅲ）依題意得，

要證，即證，

因，即證，

令（），即證（），

令（）則，

∴在（1，+）上單調遞增，

∴=0，即（）①

同理可證：②

綜①②得（），即