Question

申請某種許可證，根據規定需要通過統一考試才能獲得，且考試最多允許考四次．設X表示一位申請者經過考試的次數，據統計數據分析知X的概率分布如下：

X	1	2	3	4
P	0.1	x	0.3	0.1

（Ⅰ）求一位申請者所經過的平均考試次數；
（Ⅱ）已知每名申請者參加X次考試需繳納費用Y=100X+30（單位：元），求兩位申請者所需費用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，4位申請者中獲得許可證的考試費用低于300元的人數記為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由X的概率分布列的性質，先求x的值，再計算其期望，即可求得一位申請者所經過的平均考試次數；
（Ⅱ）設兩位申請者均經過一次考試為事件A，有一位申請者經歷兩次考試一位申請者經歷一次考試為事件B，兩位申請者經歷兩次考試為事件C，有一位申請者經歷三次考試一位申請者經歷一次考試為事件D，因為考試需交費用Y=100X+30，兩位申請者所需費用的和小于500元的事件為A∪B∪C∪D，由此可求兩位申請者所需費用的和小于500元的概率；
（Ⅲ）一位申請者獲得許可證的考試費用低于300元的概率為

3

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3，4，求出相應的概率，即可得到的分布列．

解答：解：（Ⅰ）由X的概率分布列可得0.1+x+0.1+0.3=1，∴x=0.5．
∴E（X）=0.1×1+0.5×2+0.3×3+0.1×4=2.4．
所以一位申請者所經過的平均考試次數為2.4次．
（Ⅱ）設兩位申請者均經過一次考試為事件A，有一位申請者經歷兩次考試一位申請者經歷一次考試為事件B，兩位申請者經歷兩次考試為事件C，有一位申請者經歷三次考試一位申請者經歷一次考試為事件D．
因為考試需交費用Y=100X+30，兩位申請者所需費用的和小于500元的事件為A∪B∪C∪D．
∴P（A∪B∪C∪D）=0.1×0.1+2×0.5×0.5+0.3×0.3+2×0.1×0.3=0.61
所以兩位申請者所需費用的和小于500元的概率為0.61．
（Ⅲ）一位申請者獲得許可證的考試費用低于300元的概率為

3

5

，ξ的可能取值為0，1，2，3，4．
P（ξ=0）=(

2

5

)4=

16

625

，P（ξ=1）=

C

1 4

(

3

5

)(

2

5

)3=

96

625

，P（ξ=2）=

C

2 4

(

3

5

)2(

2

5

)2=

216

625

，
P（ξ=3

C

3 4

(

3

5

)3(

2

5

) =

216

625

，P（ξ=4）=(

3

5

)4=

81

625

．
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	16 625	96 625	216 625	216 625	81 625

點評：本題考查概率的計算，考查變量的概率分布列，考查學生的計算能力，屬于中檔題．