Question

【題目】滿足不等式|x﹣A|＜B（B＞0，A∈R）的實數x的集合叫做A的B鄰域，若a+b﹣2的a+b鄰域是一個關于原點對稱的區間，則 的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵A的B鄰域在數軸上表示以A為中心，B為半徑的區域，

∴|x﹣（a+b﹣2）|＜a+b﹣2＜x＜2（a+b）﹣2，

而鄰域是一個關于原點對稱的區間域，可得a+b﹣2=0a=2﹣b．

= + ，

設f（x）= + ，x≠0且x≠2

∴f′（x）= ﹣ =

當f′（x）＞0是，解得 ＜x＜4，且x≠2，

當f′（x）＜0是，解得x＜ 或x＞4，且x≠0，

∴函數f（x）在（ ，2），（2，4）上單調遞增，函數f（x）在（﹣∞，0），（0， ），（4，+∞）上單調遞減，

∴當x=4時，函數有極大值，即f（4）=﹣ +1= ，

當x= 時，函數有極小值，即f（ ）=﹣ +1= ，

∴f（x）的值域為 ．

故則 的取值范圍是 ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．