Question

某地區有荒山2200畝，從2002年開始每年年初在荒山上植樹造林，第一年植樹100畝，以后每年比上一年多植樹50畝．
（1）若所植樹全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？
（2）右圖是某同學設計的解決問題（1）的程序框圖，則框圖中p，q，r處應填上什么條件？
（3）若每畝所植樹苗木材量為2立方米，每年樹木木材量的自然增長率為20%，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？（精確到1立方米，1.2⁸≈4.3）

Answer 1

分析：（1）設植樹n年后可將荒山全部綠化，記第n年初植樹量為a_n，依題意知數列{a_n}是首項a₁=100，公差d=50的等差數列，利用等差數列的求和公式得出關于n的方程，即可求出答案；
（2）由已知得本程序的作用是求等差數列和，由于第一次執行循環時的循環變量初值為0，計數變量為1，步長為1，最后一次執行循環時循環條件為s＞=2200，我們根據利用循環結構進行累加的方法，不難給出結論．
（3）由題意得2002年初木材量為2a₁m³，到2009年底木材量增加為2a₁（1.2）⁸m³，2003年初木材量為2a₂m³，到2009年底木材量增加為2a₂（1.2）⁷m³，…2009年初木材量為2a₈m³，到2009年底木材量增加為2a₈×1.2m³．結合錯位相減法求出到2009年底木材總量即可．

解答：解：（1）設植樹n年后可將荒山全部綠化，記第n年初植樹量為a_n，
依題意知數列{a_n}是首項a₁=100，公差d=50的等差數列，
則100n+

n(n-1)

2

=2200即n²+3n-88=0⇒（n+11）（n-8）=0，
∵n∈N^*∴n=8
∴到2009年初植樹后可以將荒山全部綠化．
（2）p處填n=n+1，q處填i=i+1，（或p處填i=i+1，q處填n=n+1），
r處填s＞=2200．
（3）2002年初木材量為2a₁m³，到2009年底木材量增加為2a₁（1.2）⁸m³，
2003年初木材量為2a₂m³，到2009年底木材量增加為2a₂（1.2）⁷m³，
…
2009年初木材量為2a₈m³，到2009年底木材量增加為2a₈×1.2m³．
則到2009年底木材總量S=2a₁×1.2⁸+2a₂×1.2⁷+2a₃×1.2⁶+…+2a₈×1.2S=900×1.2+800×1.2²+…+400×1.2⁶+300×1.2⁷+200×1.2⁸----------①
1.2S=900×1.2²+800×1.2³+…+400×1.2⁷+300×1.2⁸+200×1.2⁹---------②
②-①得0.2S=200×1.2⁹+100×（1.2²+1.2³+…+1.2⁸）-900×1.2，
=700×1.2⁹-500×1.2²-900×1.2，
=840×1.2⁸-1800≈840×4.3-1800=1812，
∴S=9060m³．
答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060m³．

點評：本小題主要考查數列的應用、循環結構等基礎知識，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．