Question

已知函數f（x）=xlnmx（m＞0），g（x）=-x²+2ax-3，且f（x）在x=e處的切線方程為2x-y-e=0，
①求m的值．
②若y=a•f（x），y=g（x）在區間[1，3]上的單調性相同，求實數a的取值范圍．
③求證：對任意的x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

．

Answer 1

分析：對函數求導f′（x）=lnmx+1，結合導數的幾何意義可知切線斜率為k=lnem+1=2 可求m
②先求函數f（x）的單調區間，然后對a分類討論：a＞0 時，a＜0，求函數y=af（x）在[1，3]上的單調性，結合二次函性質可求a的范圍
③要證明x∈（0，+∞），都有f(x)＞

x

ex

-

2

e

，令h(x)=

x

ex

-

2

e

，只要證f(x)≥-

1

e

≥

x

ex

-

2

e

即可

解答：①解：f′（x）=lnmx+1，所以切線斜率為k=lnem+1=2 （1分）
所以m=1 （2分）
②解：若a＞0 則當x∈[1，3]，f′（x）＞0，
∴f（x）單調遞增，（3分）
故g（x） 在[1，3]上單調遞增，從而對稱軸x=a≥3，綜合有a≥3 （4分）
若a＜0，則當x∈[1，3]，f′（x）＜0，
∴f（x）單調遞減，故g（x） 在[1，3]上單調遞減，從而對稱軸x=a≤1
綜合有：a＜0（6分）
若a=0，f（x） 不是單調函數，不符合題意．
綜上所述：a 的取值范圍是a≥3 或者a＜0 （7分）
③（i）當x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，函數單調遞增，
（ii ）當x∈(

1

e

，+∞)，f′（x）＞0，函數單調遞增
所以當x=

1

e

時，f（x） 取最小值-

1

e

，（9分）
令h(x)=

x

ex

-

2

e

，則h/(x)=

1-x

ex

所以當x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）單調遞增，當x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）單調遞減
則當x=1 時，h（x） 取最大值-

1

e

，（11分）
因此f(x)≥-

1

e

≥

x

ex

-

2

e

，但等號不能同時成立．
故f(x)＞

x

ex

-

2

e

（13分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的應用，導數在判斷函數的單調區間、極值、最值中的應用，及利用導數的最值與不等式證明中的應用．