Question

已知向量

m

=（2sinx，cosx），

n

=（

3

cosx，2cosx）定義函數f（x）=log_a（

m

•

n

-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）確定函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）先根據向量的數量積求出

m

•

n

-1，再根據二倍角公式及輔助角公式對其進行化簡，根據正弦函數的性質可求
函數的最小正周期
（2）結合符合函數的單調性的性質可知，需要對a進行分類討論：0＜a＜1時，要求函數f（x）的單調遞增區間，只需求解函數y=2sin(2x+

π

6

)的單調遞減且要保證y＞0；a＞1時，要求函數f（x）的單調遞增區間，只需求解函數y=2sin(2x+

π

6

)的單調遞增且要保證y＞0

解答：解：（1）∵

m

•

n

=2

3

sinxcosx+2cos²x=

3

sin2x+cos2x+1
∴

m

•

n

-1=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)
∴f(x)=loga(

m

•

n

-1)=loga[2sin(2x+

π

6

)]
∴函數的最小正周期為T=π
（2）∵0＜a＜1時，令

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

＜π+2kπ，k∈Z
∴

π

6

+kπ≤x＜

5π

12

+kπ，k∈Z
函數y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ+

π

6

，kπ+

5π

12

）上單調遞減且y＞0
∴由復合函數的單調性可知，f（x）的單增區間是[kπ+

π

6

，kπ+ 

5π

12

 )，k∈Z
∵a＞1時，2kπ＜2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
∴-

π

12

+kπ＜x≤

π

6

+kπ，k∈Z
函數y=2sin(2x+

π

6

)在[kπ-

π

12

，kπ+

π

6

]上單調遞增且y＞0
∴由復合函數的單調性可知，f（x）的單增區間是(kπ-

π

12

，kπ+

π

6

)，k∈Z

點評：本題主要考查了向量的數量積的定義的應用，及利用三角函數的二倍角公式及輔助角公式對三角函數進行化簡為y=Asin（ωx+φ）的 形式，而本題中復合函數的單調性的求解一定要注意不要漏掉考慮函數的定義域