Question

已知函數f（x）=2x-m（m∈R），g(x)=ax2+

1

2

ax+1（a∈R），h（x）=2^|x-a|
（Ⅰ）設A：存在實數x使得f（x）≤0（m∈R）成立；B：當a=-2時，不等式g（x）＞0有解．若“A”是“B”的必要不充分條件，求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）設C：函數y=h（x）在區間（4，+∞）上單調遞增；D：?x∈R，不等式g（x）＞0恒成立．請問，是否存在實數a使“非C”為真命題且“C∨D”也為真命題？若存在，請求實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據不等式的性質解利用“A”是“B”的必要不充分條件，即可求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）根據“非C”為真命題且“C∨D”為真命題的等價條件，建立條件根據即可求解．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）≤0得x≤

m

2

，
即A：x≤

m

2

…（2分）
當a=-2時，由g（x）＞0得-1＜x＜

1

2

即B：-1＜x＜

1

2

…（4分）
∵“A”是“B”的必要不充分條件，
∴{x|x≤

m

2

}?{x|-1＜x＜

1

2

}，
∴

m

2

≥

1

2

即實數m的取值范圍為m≥1…（6分）
（Ⅱ）存在．…（7分）
由x∈R，使g（x）＞0恒成立得
當a=0時，g（x）=1＞0，滿足題意  …（8分）
當a≠0時，

a＞0 △=( 1 2 a)2-4a＜0

，
解得0＜a＜16…（9分）
∴D：0≤a＜16…（10分）
∵“非C”為真命題，∴C為假命題…（11分）
即“函數h（x）=2^|x-a|在區間（4，+∞）上單調遞增”為假命題．
又h（x）=2^|x-a|在（a，+∞）上單調遞增，
∴a＞4 …（12分）
又“C∨D”為真命題，∴D為真命題…（13分）
∴0≤a＜16且a＞4，
∴4＜a＜16
故存在實數a使“非C”為真命題且“C∨D”也為真命題，
所求實數a的取值范圍為4＜a＜16…（14分）

點評：本題主要考查復合命題與簡單命題的關系的應用，先求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．