Question

已知函數．，其中a，b∈R
（1）若曲線y=f（x）在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數f（x）的解析式；
（2）討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求函數的導數，再由導數的幾何意義和切線方程列方程f′（2）=3，再由切點在切線上和曲線上列方程，分別求出a和b；
（2）由解析式求出函數的定義域，根據導數的表達式對a進行分類：a≥0和a＜0，分別求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成區間的形式．
解答：解：（1）由題意得=，
∵在點P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，
∴f′（2）==3，且f（2）=7=，
解得，a=-16，b=17，
故函數f（x）的解析式：，
（2）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
且=，
當a≥0時，恒有f'（x）≤0，f（x）的單調遞減區間為（-∞，0），（0，+∞）；
當a＜0時，令f'（x）=0，解得x=，
當x＞或x＜-時，f'（x）＜0；當-＜x＜且x≠0時，f'（x）＞0，
∴f（x）單調遞減區間為（-∞，-），（，+∞），單調遞增區間為（-，0），（0，），
綜上得，當a≥0時，函數的f（x）的減區間為（-∞，0），（0，+∞）；
當a＜0時，減區間為（-∞，-），（，+∞），增區間為（-，0），0，）．
點評：本題考查了導數與函數的單調性關系，以及導數的幾何意義、切點在曲線上和切線上的應用等，考查了分類討論思想．