Question

（07年北師大附中）  已知函數f (x ) = x⁴－4x³ + ax²－1在區間[0，1]單調遞增，在區間[1，2單調遞減.

（1）求a的值；

（2）若點A (x₀，f (x₀))在函數f (x )的圖像上，求證點A關于直線x = 1的對稱點B也在函數f (x )的圖像上；

（3）是否存在實數b，使得函數g (x ) = bx²－1的圖像與函數f (x )的圖像恰有3個交點，若存在，請求出實數b的值；若不存在，試說明理由.

Answer 1

解析：（1）由函數f (x ) = x⁴－4x³ + ax²－1在區間[0，1單調遞增，在區間[1，2單調遞減，

∴ x = 1時，取得極大值，

∴ (1 ) = 0，( x ) = 4x³－12x² + 2ax，

∴ 4－12 + 2a = 0     a = 4.

（2）點A (x₀，f (x₀))關于直線x = 1的對稱點B的坐標為 (2－x₀，f (x₀))，

f (2－x₀) = (2－x₀)⁴－4(2－x₀)³ + 4 (2－x₀)²－1

                     = (2－x₀)²[(2－x₀)－2]²－1

                     =－4+ a－1 = f (x₀)，

∴ A關于直線x = 1的對稱點B也在函數f (x )的圖像上.

（3）函數g (x ) = bx²－1的圖像與函數f (x )的圖像恰有3個交點，等價于方程x⁴－4x³ + 4x²－1 = bx²－1恰有3個不等實根，

x⁴－4x³ + 4x²－1 = bx²－1 x⁴－4x³ + (4－b)x² = 0.

∵ x = 0是其中一個根，

∴ 方程x⁴－4x³ + (4－b)x² = 0有兩個非零不等實根，

， b＞0且b≠4.